Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа — это интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображения) с функцией
вещественного переменного (оригиналом). Используется для решения дифференциальных и интегральных уравнений, а также для анализа динамических систем. Нас сейчас интересует последнее.
Прямое преобразование Лапласа для вещественного выглядит так:
(1)
где:
– оригинал;
– изображение функции
;
;
— некое число;
— комплексная частота, рад./с.
Т.к. не имеет размерности,
должен иметь размерность “1/время”, или размерность частоты. Поэтому переменную Лапласа
называют комплексной частотой. А ещё
представляет собой общую форму решения линейных дифуров.
По сути, преобразование Лапласа можно рассматривать как непрерывную функцию, значение которой при некотором представляет собой корреляцию функции
и затухающей синусоиды
, частота которой равна
, а коэффициент затухания
. Давайте запишем
следующим образом:
(2)
— вектор, модуль которого равен единице, вращающийся вокруг начала координат в комплексной плоскости с частотой
. Ещё его называют фазором.
— комплексное число, равное единице при
, значение которого увеличивается с увеличением
. Таким образом,
на комплексной плоскости представляет собой спираль:



Ниже показана действительная часть при разных значениях
, и
:



Получается, что в процессе расчёта мы делаем корреляцию нашего сигнала с сигналом, имеющим различную сходимость и частоту колебаний. Отсюда можно сделать вывод о поведении анализируемой нами системы. Одной из основных характеристик системы является устойчивость. Простыми словами: система является устойчивой, если при ограниченном входном сигнале, на выходе также получается ограниченный сигнал, который после устранения входного воздействия самостоятельно возвращается к некоторому установившемуся значению.
Первое, что нам нужно найти при анализе системы — её передаточная характеристика. Это отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях:
(3)
Давйте разберём пример. Возьмём передаточную функцию некоторой системы, запишем её изображение в виде:
(4)
И построим график :
b = [1 2 -1 0]; a = [1 3 2]; omega = linspace(-2.5, 2.5); sigma = linspace(-2.5, 0.5); [sigmagrid, omegagrid] = meshgrid(sigma, omega); sgrid = sigmagrid + 1i*omegagrid; H = polyval(b, sgrid)./polyval(a, sgrid); mesh(sigma, omega, abs(H)); xlabel('σ'); ylabel('jω'); zlabel('|H(s)|');
Результат выполнения данного скрипта:

Мы наблюдаем 3D-поверхность, устремляющуюся в бесконечность в двух точках: при ,
и
,
. Это полюсы системы. Для того, чтобы найти полюсы системы, нужно прировнять её знаменатель к нулю и найти корни получившегося уравнения. Если проделать аналогичную процедуру с числителем, т.е. найти точки, где
, мы получим нули системы.
Если взять и посмотреть сечение поверхности при
, получим ни что иное, как преобразование Фурье данной системы, или её АЧХ. Это легко проверить, подставив в уравнение (1)
:
(5)
Правда, знакомая формула? Да это и есть преобразование Фурье непрерывного сигнала.
Давайте подробнее рассмотрим полюсы системы. Для этого построим их в двумерной плоскости, где по оси будет
, по оси
–
. В Matlab это делается очень просто. Добавим в листинг 1.1 пару строчек:
Hs = tf(b, a); % передаточная функция iopzmap(Hs), grid on; % график нулей и полюсов
Получим следующий результат:

Нули отмечены кружками, полюсы — крестиками.
Если все полюсы системы расположены слева от оси , система является устойчивой. Если хоть один полюс расположен справа от этой оси — система является неустойчивой. Если все полюсы расположены на оси
, система находится на границе устойчивости (условно устойчива), к таким системам относят, например, генераторы.
Z-преобразование
Преобразование Лапласа применяют для непрерывных систем, а для анализа интересующих нас дискретных систем используют z-преобразование. Для дискретного сигнала z-преобразование
выглядит так:
(6)
где — комплексное число. Запишем его как
, где
— модуль, а
— аргумент комплексной переменной.
Получается, при выражение (6) принимает вид:
(7)
Выражение (7) представляет из себя ДПФ от сигнала . В общем случае,
представляет собой поверхность, если взять её сечение цилиндром
, то на поверхности данного цилиндра будет отображаться АЧХ нашего дискретного сигнала.
Анализ устойчивости здесь производится аналогично анализу с помощью преобразованию Лапласа. За исключением того, что мы смотрим расположение полюсов не относительно оси , а относительно единичной окружности
, центр которой находится в начале координат. Если все полюсы находятся внутри единичной окружности, система является устойчивой. Если хоть один полюс находится снаружи — система неустойчива. Полюсы, расположенные на единичной окружности говорят об условной устойчивости.
Рассмотрим пример в пакете Matlab. Возьмём систему с передаточной характеристикой:
(8)
Это будет прямая связь. И вторую систему:
(9)
Это будет обратная связь. Далее дискретизируем их с помощью функции c2d
(в результате чего получаем и
соответственно) и соединяем согласно схеме, показанной на рисунке ниже (в нашем случае
):

Затем строим график нулей и полюсов получившейся системы на комплексной плоскости:
clear G = tf([0.1 10 5],[1 8 4 2]); Gd = c2d(G,0.1); C = tf([2 1],[2 3]); Cd = c2d(C,0.1); sys = feedback(Gd,Cd); figure rlocus(sys), grid on;
В результате выполнения скрипта получим единичную окружность, на которой крестиками отмечены полюсы системы, кружками – нули системы:
Но, помимо этого, на графике видны кривые разных цветов, которые показывают траекторию движения нулей и полюсов при разном коэффициенте усиления . Получается, что мы с вами построили корневой годограф. С его помощью можно отследить, при каких значениях
система будет устойчивой, а при каких — нет, а также величину пререгулирования при ступенчатом воздействии на сигнал (становится видно, если нажать левой кнопкой мыши на графике). В нашем случае граница устойчивости системы —
. При большем коэффициенте усиления система становится неустойчивой.
Построим графики реакции системы из предыдущего листинга на ступенчатое воздействие (функция Хевисайда, или ступенька — это сигнал, который при равен нулю, при
равен единице). Дополним код:
figure subplot(2,2,1) sys1 = feedback(Gd,Cd); step(sys1), grid on title('K=1') subplot(2,2,2) sys2 = feedback(Gd,Cd*10); step(sys2), grid on title('K=10') subplot(2,2,3) sys3 = feedback(Gd,Cd*20); step(sys3), grid on title('K=20') subplot(2,2,4) sys4 = feedback(Gd,Cd*25); step(sys4), grid on title('K=25')
Ниже показан результат выполнения данного кода:

Из рисунка видно, что с увеличением появляются колебания на фронте переходной характеристики. При
(больше 21) система не возвращается в состояние равновесия (она неустойчива).
Вернёмся к БИХ-фильтрам. Помните, в его структурной схеме были прямоугольники с надписью “Задержка”? Давайте посмотрим, как она выглядит в z-области. Рассмотрим на примере задержки на 1 такт:
(10)
Запишем z-преобразование для уравнения (10):
(11)
Пусть , тогда:
(12)
или:
(13)
Получается, чтобы сделать задержку на 1 такт, достаточно домножить сигнал на , поэтому во многих структурных схемах фильтров вместо надписи “Задержка” можно увидеть просто
. Задержка на
тактов выглядит как
.
Выражение для БИХ-фильтра в z-области будет выглядеть следующим образом:
(14)
Далее, чтобы составить передаточную характеристику, всё, что относится к выходному сигналу, отнесём в числитель, а входного — в знаменатель. Получим:
(15)
Другим не менее важным параметром фильтра является его частотная характеристика. Чтобы её найти, достаточно в его передаточную функцию (15) подставить :
(16)
Пока это всё.
Скачать конспект в pdf: Laplace and z-transform Lecture – V.V. Leonidov.pdf
Comments (0)