#Lectures #DSP

Преобразование Лапласа и z-преобразование — конспект лекции

06 Apr

by Vladimir Leonidov 0

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа — это интегральное преобразование, связывающее функцию $F(s)$ комплексного переменного (изображения) с функцией $f(x)$ вещественного переменного (оригиналом). Используется для решения дифференциальных и интегральных уравнений, а также для анализа динамических систем. Нас сейчас интересует последнее.

Прямое преобразование Лапласа для вещественного $f(t)$ выглядит так:

(1) $\begin{equation*} F(s) = \int\limits_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \,dt, \end{equation*}$

где:

$f(t)$ – оригинал;
$F(s)$ – изображение функции $f(t)$ ;
$s = \sigma + j \omega$ ;
$\sigma$ — некое число;
$\omega$ — комплексная частота, рад./с.

Т.к. $e^{-st}$ не имеет размерности, $s$ должен иметь размерность “1/время”, или размерность частоты. Поэтому переменную Лапласа $s$ называют комплексной частотой. А ещё $e^{-st}$ представляет собой общую форму решения линейных дифуров.

По сути, преобразование Лапласа можно рассматривать как непрерывную функцию, значение которой при некотором $s$ представляет собой корреляцию функции $f(t)$ и затухающей синусоиды $e^{-st}$ , частота которой равна $\omega$ , а коэффициент затухания $\sigma$ . Давайте запишем $e^{-st}$ следующим образом:

(2) $\begin{equation*} e^{-st} = e^{-\sigma t - j \omega t} = \frac{e^{-j \omega t}}{e^{\sigma t}} \end{equation*}$

$e^{-j \omega t}$ — вектор, модуль которого равен единице, вращающийся вокруг начала координат в комплексной плоскости с частотой $\omega$ . Ещё его называют фазором. $e^{\sigma t}$ — комплексное число, равное единице при $t=0$ , значение которого увеличивается с увеличением $t$ . Таким образом, $e^{-st}$ на комплексной плоскости представляет собой спираль:

Спираль, описывающая множитель в преобразовании Лапласа — Функция $e^{-st}$ при $\omega = 2\pi$ , $\sigma = 1$

Ниже показана действительная часть $e^{-j \omega t}$ при разных значениях $\omega$ , и $\sigma$ :

Действительная часть множителя преобразования Лапласа — Действительная часть $e^{-st}$ при разных значениях $\omega$ , и $\sigma$

Получается, что в процессе расчёта $F(s)$ мы делаем корреляцию нашего сигнала с сигналом, имеющим различную сходимость и частоту колебаний. Отсюда можно сделать вывод о поведении анализируемой нами системы. Одной из основных характеристик системы является устойчивость. Простыми словами: система является устойчивой, если при ограниченном входном сигнале, на выходе также получается ограниченный сигнал, который после устранения входного воздействия самостоятельно возвращается к некоторому установившемуся значению.

Первое, что нам нужно найти при анализе системы — её передаточная характеристика. Это отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях:

(3) $\begin{equation*} H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} \end{equation*}$

Давйте разберём пример. Возьмём передаточную функцию некоторой системы, запишем её изображение в виде:

(4) $\begin{equation*} H(s) = \frac{s^3+2s^2-s}{s^2+3s+2} \end{equation*}$

И построим график $|H(s)|$ :

b = [1 2 -1 0];
a = [1 3 2];

omega = linspace(-2.5, 2.5);
sigma = linspace(-2.5, 0.5);

[sigmagrid, omegagrid] = meshgrid(sigma, omega);
sgrid = sigmagrid + 1i*omegagrid;
H = polyval(b, sgrid)./polyval(a, sgrid);

mesh(sigma, omega, abs(H));
xlabel('σ');
ylabel('jω');
zlabel('|H(s)|');

Результат выполнения данного скрипта:

Мы наблюдаем 3D-поверхность, устремляющуюся в бесконечность в двух точках: при $j\omega=0$ , $\sigma = -2$ и $j\omega=0$ , $\sigma = -1$ . Это полюсы системы. Для того, чтобы найти полюсы системы, нужно прировнять её знаменатель к нулю и найти корни получившегося уравнения. Если проделать аналогичную процедуру с числителем, т.е. найти точки, где $H(s)=0$ , мы получим нули системы.

Если взять и посмотреть сечение поверхности $|H(s)|$ при $\sigma = 0$ , получим ни что иное, как преобразование Фурье данной системы, или её АЧХ. Это легко проверить, подставив в уравнение (1) $s=j\omega$ :

(5) $\begin{equation*} F(s) = \int\limits_{0}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \,dt \end{equation*}$

Правда, знакомая формула? Да это и есть преобразование Фурье непрерывного сигнала.

Давайте подробнее рассмотрим полюсы системы. Для этого построим их в двумерной плоскости, где по оси $x$ будет $\sigma$ , по оси $y$ – $j\omega$ . В Matlab это делается очень просто. Добавим в листинг 1.1 пару строчек:

Hs = tf(b, a);         % передаточная функция
iopzmap(Hs), grid on;  % график нулей и полюсов

Получим следующий результат:

Нули и полюсы системы H(s) — Нули и полюсы системы $H(s)$

Нули отмечены кружками, полюсы — крестиками.

Если все полюсы системы расположены слева от оси $j\omega$ , система является устойчивой. Если хоть один полюс расположен справа от этой оси — система является неустойчивой. Если все полюсы расположены на оси $j\omega$ , система находится на границе устойчивости (условно устойчива), к таким системам относят, например, генераторы.

Z-преобразование

Преобразование Лапласа применяют для непрерывных систем, а для анализа интересующих нас дискретных систем используют z-преобразование. Для дискретного сигнала $x[n]$ z-преобразование $X[z]$ выглядит так:

(6) $\begin{equation*} X[z] = \sum\limits_{-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot z^{-n}, \end{equation*}$

где $z$ — комплексное число. Запишем его как $z = re^{j\omega}$ , где $r$ — модуль, а $\omega$ — аргумент комплексной переменной.

Получается, при $r=1$ выражение (6) принимает вид:

(7) $\begin{equation*} X[z]|_{z=e^{j\omega}} = \sum\limits_{-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot e^{-j\omega n} \end{equation*}$

Выражение (7) представляет из себя ДПФ от сигнала $x[n]$ . В общем случае, $X[z]$ представляет собой поверхность, если взять её сечение цилиндром $|z|=1$ , то на поверхности данного цилиндра будет отображаться АЧХ нашего дискретного сигнала.

Анализ устойчивости здесь производится аналогично анализу с помощью преобразованию Лапласа. За исключением того, что мы смотрим расположение полюсов не относительно оси $j\omega$ , а относительно единичной окружности $|z|=1$ , центр которой находится в начале координат. Если все полюсы находятся внутри единичной окружности, система является устойчивой. Если хоть один полюс находится снаружи — система неустойчива. Полюсы, расположенные на единичной окружности говорят об условной устойчивости.

Рассмотрим пример в пакете Matlab. Возьмём систему с передаточной характеристикой:

(8) $\begin{equation*} G(s) = \frac{0.1s^2+10s+5}{s^3+8s^2+4s+2} \end{equation*}$

Это будет прямая связь. И вторую систему:

(9) $\begin{equation*} C(s) = \frac{2s+1}{2s+3} \end{equation*}$

Это будет обратная связь. Далее дискретизируем их с помощью функции c2d (в результате чего получаем $Gd[z]$ и $Cd[z]$ соответственно) и соединяем согласно схеме, показанной на рисунке ниже (в нашем случае $K=1$ ):

Затем строим график нулей и полюсов получившейся системы на комплексной плоскости:

clear

G = tf([0.1 10 5],[1 8 4 2]);
Gd = c2d(G,0.1);
C = tf([2 1],[2 3]);
Cd = c2d(C,0.1);
sys = feedback(Gd,Cd);

figure
rlocus(sys), grid on;

В результате выполнения скрипта получим единичную окружность, на которой крестиками отмечены полюсы системы, кружками – нули системы:

Корневой годограф системы из листинга “Анализ устойчивости дискретной системы”

Но, помимо этого, на графике видны кривые разных цветов, которые показывают траекторию движения нулей и полюсов при разном коэффициенте усиления $K$ . Получается, что мы с вами построили корневой годограф. С его помощью можно отследить, при каких значениях $K$ система будет устойчивой, а при каких — нет, а также величину пререгулирования при ступенчатом воздействии на сигнал (становится видно, если нажать левой кнопкой мыши на графике). В нашем случае граница устойчивости системы — $K=21$ . При большем коэффициенте усиления система становится неустойчивой.

Построим графики реакции системы из предыдущего листинга на ступенчатое воздействие (функция Хевисайда, или ступенька — это сигнал, который при $t<0$ равен нулю, при $t\geq 0$ равен единице). Дополним код:

figure
subplot(2,2,1)
sys1 = feedback(Gd,Cd);
step(sys1), grid on
title('K=1')

subplot(2,2,2)
sys2 = feedback(Gd,Cd*10);
step(sys2), grid on
title('K=10')

subplot(2,2,3)
sys3 = feedback(Gd,Cd*20);
step(sys3), grid on
title('K=20')

subplot(2,2,4)
sys4 = feedback(Gd,Cd*25);
step(sys4), grid on
title('K=25')

Ниже показан результат выполнения данного кода:

Реакция исследуемой системы на ступенчатое воздействие при разных K — Реакция исследуемой системы на ступенчатое воздействие при разных $K$

Из рисунка видно, что с увеличением $K$ появляются колебания на фронте переходной характеристики. При $K=25$ (больше 21) система не возвращается в состояние равновесия (она неустойчива).

Вернёмся к БИХ-фильтрам. Помните, в его структурной схеме были прямоугольники с надписью “Задержка”? Давайте посмотрим, как она выглядит в z-области. Рассмотрим на примере задержки на 1 такт:

(10) $\begin{equation*} y[n] = x[n-1] \end{equation*}$

Запишем z-преобразование для уравнения (10):

(11) $\begin{equation*} Y[z] = \sum\limits_{-\infty}^{+\infty} x[n-1]z^{-n} \end{equation*}$

Пусть $k=n-1$ , тогда:

(12) $\begin{equation*} Y[z] = \sum\limits_{-\infty}^{+\infty} x[k] z^{-(k+1)} = \sum\limits_{-\infty}^{+\infty} x[k] z^{-k}z^{-1} = z^{-1}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty} x[k] z^{-k} \end{equation*}$

или:

(13) $\begin{equation*} Y[z] = X[z] \cdot z^{-1} \end{equation*}$

Получается, чтобы сделать задержку на 1 такт, достаточно домножить сигнал на $z^{-1}$ , поэтому во многих структурных схемах фильтров вместо надписи “Задержка” можно увидеть просто $z^{-1}$ . Задержка на $n$ тактов выглядит как $z^{-n}$ .

Выражение для БИХ-фильтра в z-области будет выглядеть следующим образом:

(14) $\begin{equation*} Y[z]=X[z]\sum\limits_{k=0}^{N} b[k] z^{-k}+Y[z]\sum\limits_{k=1}^{M} a[k] z^{-k} \end{equation*}$

Далее, чтобы составить передаточную характеристику, всё, что относится к выходному сигналу, отнесём в числитель, а входного — в знаменатель. Получим:

(15) $\begin{equation*} H[z] = \frac{Y[z]}{X[z]} = \frac{\sum\limits_{k=0}^{N} b[k] z^{-k}}{1-\sum\limits_{k=1}^{M} a[k] z^{-k}} \end{equation*}$

Другим не менее важным параметром фильтра является его частотная характеристика. Чтобы её найти, достаточно в его передаточную функцию (15) подставить $z=e^{j\omega}$ :

(16) $\begin{equation*} H[\omega] = H[z]|_{z=e^{j\omega}} = \frac{\sum\limits_{k=0}^{N} b[k] e^{-jk\omega}}{1-\sum\limits_{k=1}^{M} a[k] e^{-jk\omega}} \end{equation*}$

Пока это всё.

Скачать конспект в pdf: Laplace and z-transform Lecture – V.V. Leonidov.pdf

Владимир Леонидов

Визитная карточка

Преобразование Лапласа и z-преобразование — конспект лекции

Преобразование Лапласа

Z-преобразование

Comments (0)

Cancel reply